Question

（本题满分10分）函数 f ( x )＝ A sin( ωx ＋ φ )( A >0， ω >0，| φ |< )的一段图象如图

（本题满分10分）函数 f ( x )＝ A sin( ωx ＋ φ )( A >0， ω >0，| φ |< )的一段图象如图所示． (1)求 f ( x )的解析式；(2)求 f ( x )的单调减区间，并指出 f ( x )的最大值及取到最大值时 x 的集合；(3)把 f ( x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

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Answer 1

（1） ； (2)函数 f ( x )的单调减区间为 　( k ∈Z)． 函数 f ( x )的最大值为1，取到最大值时 x 的集合为{ x | x ＝ k π＋ ， k ∈Z}． (3)至少须左移 个单位才能使所对应函数为偶函数

本试题主要考查了三角函数的解析式和其图像与性质和三角函数函数图像的变换的综合运用。 （1）因为由图像可知周期，得到w，然后利用振幅得到A，代入一个特殊点得到初相的值，得到解析式。 （2）利用三角函数的图像与性质，求解三角函数的值域，并求解取得最值时自变量的取值集合 （3）根据图像的平移变换和周期变化和振幅变换可知至少要左移 个单位，才能符合题意。 解：（1）从图知，函数的最大值为1， 则  函数 的周期为 ，而 ，则 ， 又 时， ，而 ，则 ， ∴函数 的表达式为 ……4分 (2)由2 k π＋ ≤ ≤2 k π＋ 得， k π＋ ≤ x ≤ k π＋ 　( k ∈Z)， ∴函数 f ( x )的单调减区间为 　( k ∈Z)． 函数 f ( x )的最大值为1，取到最大值时 x 的集合为{ x | x ＝ k π＋ ， k ∈Z}．……7分 (3)解法一： f ( x )＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ， 故至少须左移 个单位才能使所对应函数为偶函数．……10分 解法二： f ( x )＝sin 的图象的对称轴方程为 ＝ k π＋ ， ∴ x ＝ ，当 k ＝0时， x ＝ ， k ＝－1时， x ＝ ， 故至少左移 个单位．……10分