Question

在△ABC中，A，B，C满足 1+ sinAcosB cosAsinB = 2sinC sinB ．（I）求角A（II）若

在△ABC中，A，B，C满足 1+ sinAcosB cosAsinB = 2sinC sinB ．（I）求角A（II）若 m =(0，-1) ， n =(cosB，cosC+1) ，试求 | m + n | 的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，∵ 1+ sinAcosB sinBcosA = 2sinC sinB ， 即 sinBcosA+sinAcosB sinBcosA = 2sinC sinB ，∴ sin(A+B) sinBcosA = 2sinC sinB ，∴ cosA= 1 2 ．（4分） ∵0＜A＜π，∴ A= π 3 ．   （5分） （Ⅱ）∵ m + n =（cosB，cosC），（6分） ∴ | m + n | 2 = co s 2 B+co s 2 C=co s 2 B+co s 2 ( 2π 3 -B)=1+ 1 2 [cos2B+cos( 4π 3 -2B)]   = 1+ 1 2 [cos2B- 1 2 cos2B- 3 2 sin2B]=1- 1 2 sin(2B- π 6 ) ．      （8分） ∵ A= π 3 ，∴ B+C= 2π 3 ，∴ B∈(0， 2π 3 ) ，从而 - π 6 ＜2B- π 6 ＜ 7π 6 ．（9分） ∴当 sin(2B- π 6 ) =1，即 B= π 3 时， | m + n | 2 取得最小值 1 2 ．      （11分） 所以， | m + n | 的最小值为 1 2 ．      （12分）