Question

如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴

如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设y=ax（x-4），
把A点坐标（3，3）代入得：
a=-1，
函数的解析式为y=-x²+4x，
答：二次函数的解析式是y=-x²+4x．

（2）解：0＜m＜3，PC=PD-CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x²+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，-m²+4m），C（m，m）
∴PC=PD-CD=-m²+4m-m=-m²+3m，
=-(m?

3

2

)2+

9

4

，
∵-1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（

3

2

，0）时，PC_max=

9

4

，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是

9

4

．

（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，
∴?m2+3m＝

2

m，
解得m＝3?

2

，
∴P(3?

2

，1+2

2

)；
当4＞m≥3时，PC=CD-PD=m²-3m，
OC=

2

m，
由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m-4）²，
①当OC=PC时，m2?3m＝

2

m，
解得：