Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝12，直线y=x+2经过左焦点F1．（1）

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝12，直线y=x+2经过左焦点F1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的点，求∠F1PF2的范围．

Answer 1

（1）直线y=x+2与x的交点的坐标为（-2，0），则F₁的坐标为（-2，0）．…（2分）
设焦距为2c，则c=2．∵e＝

c

a

＝

1

2

∴a=4，b²=a²-c²=12．…（5分）
则椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

＝1．…（6分）
（2）当P在椭圆的右顶点时，∠F₁PF₂=0（7分）
当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF₁+PF₂≥2

PF1?PF2

∴

1

PF1?PF2

≥

1

16

当且仅当PF₁=PF₂时等号成立
△F₁PF₂中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝

|PF1|2+|PF2|2?|F1F2|2

2|PF1|×|PF2|

＝

(|PF1|+|PF2|)2?2|PF1|×|PF2|?|F1F2|2

2|PF1|×|PF2|

（9分）
=

48?2|PF1|×|PF2|

2|PF1|×|PF2|

＝

24

|PF1|×|PF2|

?1≥

24

16

?1＝

1

2

，…（13分）
则0＜∠F1PF2≤

π

3

；
由上述可得∠F₁PF₂的取值范围为[0，

π

3

]．…（14分）