Question

已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值

已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值．

Answer 1

方法一：待定系数法
令x⁴+ax²+b=(x²+2x+5)(x²+mx+n)
整理，得
(m+2)x³+(2m+n-a+5)x²+(2n+5m)x+5n-b=0
等式对于任意x恒成立，则
m+2=0
2m+n-a+5=0
2n+5m=0
5n-b=0
解得a=6，b=25，m=-2，n=5
a+b=6+25=31

方法二：配凑法
x⁴+ax²+b
=x⁴+2x³+5x²-2x³-4x²-10x+(a-1)x²+10x+b
=x²(x²+2x+5)-2x(x²+2x+5)+5[(a-1)x²/5+2x+b/5]
=(x²-2x)(x²+2x+5)+5[(a-1)x²/5+2x+b/5]
(x²-2x)(x²+2x+5)包含因式x²+2x+5，能被x²+2x+5整除，
因此只要5[(a-1)x²/5+2x+b/5]能被x²+2x+5整除，而(a-1)x²/5+2x+b/5与x²+2x+5一次项系数相同，两者相等，因此
(a-1)/5=1，b/5=5
解得a=6，b=25
a+b=6+25=31

总结：
1、配凑法、待定系数法都是求多项式未知系数的常用方法，具体要看题目用哪种方法更简便。
2、待定系数法更容易掌握，缺点是需要解多元方程组，当方程组中出现高次多元方程时，就难以得到计算结果（本题是一次方程组，是待定系数法解题中最简单基本的）；配凑法避免了高次方程组的计算，但配凑时容易漏项，需要认真仔细。

Answer 2

设x⁴+ax²+b=（x²+2x+5）（x²+mx+n）=x⁴+（2+m）x³+（2m+n+5）x²+（5m+2n）x+5n
比较对应项系数得

2+m＝0 2m+n+5＝a 5m+2n＝0 5n＝b

解得m=-2、n=5、a=6、b=25
∴a+b=31．