Question

如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ACB的角平分线交AB于E，又交BC的高AD于点O，过O点作OF平行BC交AB于点

接上题
求证：AE=BF

Answer 1

过点O做GH垂直于AC交AC于点H，交BC于点G，连接EG
由于∠BAC=90°=∠GH，则GH//AB，又因为OF//BC，，则四边形BFOG为平行四边形，则BF=GO；
又因为CE为∠ACB的角平分线，则DO=HO且CD=CH，因为∠GOD=∠AOH,∠AHO=∠ODH=90°,故三角形AHO与三角形GDO全等，则GD=AH，故AH+CH=CD+GD，即CG=AC，又加一公共边CE，则三角形CEA全等于三角形CEG，则∠EAC=∠EGC=90°，即EG垂直于BC，因为AD亦垂直于BC，则EG//AD，则四边形AEGO为平行四边形，则AE=GO；
综上可得：AE=BF，得证！