Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，若AB=4，AD=3，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴CE=DE=BE= 1 2 BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD，∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD为圆的半径， ∴DE为圆O的切线； （2）在Rt△ABD中，AB=4，AD=3， 根据勾股定理得：BD= A B 2 -A D 2 = 7 ， ∵∠DAB=∠BAC，∠ADB=∠CBA=90°， ∴△ADB ∽ △ABC， ∴ AD AB = DB BC ，即 3 4 = 7 BC ， 解得：BC= 4 7 3 ， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC= A B 2 +B C 2 = 16 3 ， ∵E为BC的中点，O为AB的中点， ∴OE为△ABC的中位线， 则OE= 1 2 AC= 8 3 ．