Question

（2009?盐城一模）已知⊙O：x2+y2=1和点M（4，2）．（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（Ⅱ）求以

（2009?盐城一模）已知⊙O：x2+y2=1和点M（4，2）．（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由⊙O：x²+y²=1得到圆心O（0，0）半径r=1，
设切线l方程为y-2=k（x-4），
易得

|4k?2|

k2+1

＝1，解得k＝

8± 19

15

，
∴切线l方程为y?2＝

8± 19

15

(x?4)；
（Ⅱ）圆心M到直线y=2x-1的距离d=

|5|

1+4

=

5

，
设圆的半径为r，则r2＝22+(

5

)2＝9，
∴⊙M的方程为（x-4）²+（y-2）²=9；

（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得PQ＝

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