如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在C
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在CD上．（1）求二面角P-DB-C的正弦值；（2...
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在CD上．（1）求二面角P-DB-C的正弦值；（2）求点C到平面PBD的距离．
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证明：（1）过O作OE⊥BD于点E，连接PE
∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，
∴BD⊥PE，
∴∠PEO为二面角P-BD-C的平面角，
在△POE中，PE=3，OE=1，PO=2
，
则sin∠PEO=
，
∴二面角P-DB-C的正弦值为
．（6分）
（2）设点C到平面PBD的距离为h．
∵VC-PBD=VP-BCD，
∴
×（
×6×2
）×h=
×（
×6×2
）×2
，
解得h=2
∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，
∴BD⊥PE，
∴∠PEO为二面角P-BD-C的平面角，
在△POE中，PE=3，OE=1，PO=2
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则sin∠PEO=
2
| ||
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∴二面角P-DB-C的正弦值为
2
| ||
| 3 |
（2）设点C到平面PBD的距离为h．
∵VC-PBD=VP-BCD，
∴
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解得h=2
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