Question

函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=

函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

解答：解（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²+bx+c 求导数得f'（x）=3x²+2ax+b，
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1），
即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1），
而过y=f（x）上P（1，f（1））的切线方程为：y=3x+1，
故

3+2a+b＝3 ?a+c?2＝1

，即

2a+b＝0…(1) a?c＝?3…(2)

∵y=f（x）在x=-2时有极值，故f'（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5，
f（x）=x³+2x²-4x+5…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	[-3，-2）	-2	(?2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1]
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大		极小

f（x）_极大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13  f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13                     …（8分）
（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立．
①在x＝

b

6

≥1时，g(x)最小值＝g(1)＝3?b+b＞0

&∴b≥6

②在x＝

b

6

≤?2时，g(x)最小值＝g(?2)＝12+2b+b≥0则b∈Φ
③在?2≤

b

6

≤1时，g(x)最小值＝

12b?b2

12

≥0

则0≤b≤6．

综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0…（12分）
或者（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立∴b≥

3x2

x?1

＝

3x2

x?1

＝3(x?1)+

3

x?1

+6(x≤1)
令m（x）=3（x-1）+

3

x?1

（x≤1）
则m（x）≤?6∴(

3x2

x?1

)max＝0∴b≥0