Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，DF 平分∠ADC交线段AE于点F．（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，DF 平分∠ADC交线段AE于点F．（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请探索线段CD与AF+BE之间所满足的数量关系；（2）如图2，若AE=AD，则你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，对你的结论加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）CD=AF+BE，
理由是：如图，∵∠ADC=60°，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=30°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，AB=CD，
∵AE⊥BC，
∴∠DAF=∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°=∠ADF，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

CD，
在△ADF和△EAB中，

∠ADF＝∠BAE AD＝AE ∠DAF＝∠AEB

∴△ADF≌△EAB（ASA），
∴AF=BE=

1

2

CD，
∴CD=AF+BE．

（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长FA至G，使AG=BE，
在△DAG和△AEB中，

AD＝AE ∠GAD＝∠AEB AG＝BE

，
∴△DAG≌△AEB（SAS），
∴∠GDA=∠BAE，GD=AB=CD，
又∵平行四边形ABCD中，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ADC=90°，
∴∠GDF=90°-∠CDF，
在Rt△DAF中，∠AFD=90°-∠ADF，
∴∠GFD=∠GDF，
∴GF=GD，
∴GD=AF+AG，
∴CD=AF+BE．