Question

设f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2 ，除以(x-2)^2的余式为3x+4 ，则f(x

设f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2 ，除以(x-2)^2的余式为3x+4 ，则f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式为（ ）
A.4x^2-19x+12 B. -4x^2+19x-12 C. -4x^2-19x-12 D. 4x^2+19x-12

Answer 1

这样做，设：f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式为h(x)。

则：存在多项式g（x）使得：
f（x）=g(x)*(x-1)(x-2)^2+h(x). （1）

另一方面，f(x )除以(x-2)^2的余式为3x+4 。
由（1）式知，h(x)除以(x-2)^2的余式为3x+4
存在多项式l(x)，使得 h(x)=l(x)*(x-2)^2+3x+4 （2）

而（1）式中，h(x)为f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式。故h（x）最高为二次多项式，否则除以(x-1)(x-2)^2还能除。
又由（2）式，l(x)最高为0次多项式，即为整数，设之为k。
则： h(x)=k(x-2)^2+3x+4 求出k，即可求出题中所求余式。
代入（1），有：f（x）=g(x)*(x-1)(x-2)^2+k(x-2)^2+3x+4 （3）

题目还有一个条件没用，就是f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2。
倘若拿（3）式代入来除(x-1)^2，当然可以继续做，但是太麻烦。。。
想到f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2 说明f(1)=1+2=3
带入（3）式可得：f（1）=k+7=3 从而k=-4
代入h(x)=k(x-2)^2+3x+4 即可得：h(x)=k(x-2)^2+3x+4 =-4x^2+19x-12 即为B

当然还有更简单的做法：
第一步，f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式 至多为二次多项式。理由前面说了。
第二步，f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2，说明f(1)=1+2=3
第三步，f(x ) 除以(x-2)^2的余式为3x+4，说明f（2）=10
作为选择题，上述第二步和第三步已经足以解决问题了，代入4个答案验证即可。

这些都只是利用了题目条件的一部分而已。
f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2
不仅能说明 f（1）=3 还表明了 f'(1)=1
同理:f(2)=10,f'(2)=3.

Answer 2

c

Answer 3

abcd

Answer 4

c