Question

在△ABC中,角A,B,C对的边分别为a,b,c,已知a=2。(1)若A=π/3，求b+c的取值范围 （2）若向量AB·向量AC=1

求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

解：（1） 根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R===>b+c=2R(sinB+sinC)=a/sinA*(sinB+sinC)
=2/sin60° * 2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2] B+C=180°-A=120° C=2π/3-B
所以 b+c=4cos[(B-C)/2] =4cos(B-π/3) (0<B<2π/3)
-π/3<B-π/3<π/3===>B=π/3时，取得最大值4，
B---->0时，b+c----->2, 所以 b+c 的取值范围 是 （2，4 ]
（2）向量AB·向量AC=1 ===>bc cosA=1 ===>cosA=1/(bc)=(b^2+c^2-a^2)/2(bc) ===>2=b^2+c^2-a^2=b^2+c^2-4 ===>b^2+c^2=6
三角形ABC面积: S=bcsinA/2=bc*根号（1-cos^2A)/2=1/2*根号(b^2c^2-1)
=1/2*根号[c^2(6-c^2)-1] 显然 c^2=6-c^2 即 c^2=3时，S取得最大值：
根号2
即 当 b=c=根号3 时， 三角形ABC的面积取得最大值：根号2.