Question

高中数学解析几何题！！！！！！！！！！！！！会的进来！！！！！！！！！！！！！！

已知双曲线以坐标轴为对称轴，焦点在Y轴上，它的半实轴长为sinx（是锐角），且双曲线上一动点P（x,y)到定点M（1,0）的最短距离为1/sinx，求x的变化范围。

Answer 1

解：
【1】可设双曲线方程为：(y²/a²)-(x ²/b ²)=1. (a,b＞0).
∴y ²=(a ²/b ²)x ²+a ².
由“两点间距离公式”可得：
|PM| ²=(x-1) ²+y ²
=(c ²/b ²)x ²-2x+a ²+1
=(c ²/b ²)[x-(b ²/c ²)]²+[a ²(c ²+1)/c ²] ≥a ²(c ²+1)/c ².
等号仅当x=b ²/c ²时取得。∴|PM|min=(a/c) √(c ²+1).
由题设可知，a=sint,|PM|min=1/sint..
∴(a/c) √(c ²+1)=1/a.即：a ²=c/√(1+c ²).
【2】易知，a ²＜c ². ∴c√(1+c ²) ＞1.
∴[c ²+(1/2)] ²＞5/4.
∴c ²＞(√5-1)/2.
∴0＜1/c ²＜(1+√5)/2.
∴1＜√[1+1/c ²] ＜(√5+1)/2.
即1＜1/a ²＜(√5+1)/2.
∴-1＜1-2a ²＜2-√5.
∵a=sint. ∴-1＜cos2t＜2-√5.
∴√5-2＜cos(π-2t) ＜1.
∵0＜t＜π/2. ∴0＜π-2t＜π.
∴0＜π-2t＜arccos(√5-2).
∴[π-arccos(√5-2)]/2＜t＜π/2.