Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF ∥ AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF ∥ AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，（Ⅰ）求证：FH ∥ 平面EDB；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB．

Answer 1

（Ⅰ）证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点． 连EG、GH， 由于H为BC的中点，故GH ∥ . 1 2 AB． 又FE ∥ . 1 2 AB ， ∴EF ∥ . GH． ∴四边形EFGH为平行四边形． ∴EG ∥ FH．而EG?平面EDB， ∴FH ∥ 平面EDB．…（6分） （Ⅱ）证：由四边形ABCD是正方形，有AB⊥CB． 又EF ∥ AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB， ∴EF⊥平面BFC． ∴EF⊥FH， ∴AB⊥FH．又BF=FC，H为BC的中点， FH⊥BC． FH⊥平面ABCD， ∴FH⊥AC．又FH ∥ EG， AC⊥EG．又AC⊥BD，GE∩BD=G， ∴AC⊥平面EDB．…（14分）