Question

如图，矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，BC边在x轴上，点A（-1，2），点C（3，0）．动点P从点A出发，以每

如图，矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，BC边在x轴上，点A（-1，2），点C（3，0）．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，到达点D后停止．把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，连接PN，DN．设P的运动时间为t秒．（1）经过1秒后，求出点N的坐标；（2）当t为何值时，△PND的面积最大？并求出这个最大值；（3）求在整个过程中，点N运动的路程是多少？

Answer 1

解：（1）当t=1时，AP=1，过点N作NQ⊥AD于点Q，
∵把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，
∴∠BPN=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，
∵∠PQN=90°，
∴∠QPN+∠QNP=90°，
∴∠APB=∠QNP，
又∵∠A=∠PQN=90°，
∴△BAP∽△PQN，
∴

AB

QP

=

AP

NQ

=

BP

NP

=2，
∴PQ=1，NQ=

1

2

，
∴N（1，

3

2

）；

（2）当点P运动时间为t秒时，
∵点A（-1，2），点C（3，0），
∴NQ=

t

2

，PD=4-t，
∴△PND的面积=y=

1

2

?

t

2

(4-t)=-

t2

4

+t=-

1

4

（t-2）²+1，
当t=2时，y最大，
y_最大=1．

（3）因为PQ=1，AP=t，点A（-1，2），
所以N（t，2-

t

2

），
当t=0时，2-

t

2

=2；则N点坐标为（0，2），
当t=4时，2-

t

2

=0，则N′点坐标为（4，0），并且点N沿直线y=2-

t

2

运动，
所以：点N运动的路程是：NN′=

42+22

=2

5

．