Question

用单调性的定义证明：f（x）=x3是R上增函数

用单调性的定义证明：f（x）=x3是R上增函数．

Answer 1

证明设x1，x2属于R，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=x1^3-x2^3
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
=(x1-x2)[x1^2+x2x1+(x2/2)^2+3x2^2/4]
=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x2^2/4]
由x1＜x2，得x1-x2＜0
又由x1，x2不能同时为0，则(x1+x2/2)^2+3x2^2/4＞0
则(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x2^2/4]＜0
则f(x1)-f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
则f（x）=x^3是R上增函数.

Answer 2

证：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
f(x1)?f(x2)＝x13?x23＝(x1?x2)(x12+x22+x1x2)=

1

2

(x1?x2)[(x1+x2)2+x12+x22]；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁，x₂不全为0，(x1+x2)2+x12+x22＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=x³是R上的增函数．