Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD1=2，BC=DC=1．点E是侧棱DD1的

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD1=2，BC=DC=1．点E是侧棱DD1的中点．（1）证明：B1E⊥AB；（2）若点F在线段B1E上，且B1F=13B1E，求直线AF与平面BDD1B1所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵侧棱DD₁⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴DD₁⊥AB，
在梯形ABCD中，∵AD=2，BC=DC=1，
∴AB=BD=

2

，
∴AB²+BD²=AD²，
∴BD⊥AB，
∵BD∩DD₁=D，
∴AB⊥平面BDD₁B₁，
∵B₁E?平面BDD₁B₁，
∴B₁E⊥AB；
（2）解：连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD₁B₁所成角．
在矩形BDD₁B₁中，B₁E=

3

，cos∠B₁ED₁=

3

3

，
由余弦定理可得BF=

3

，
∴AF=

AB2+BF2

=

5

，
∴直线AF与平面BDD₁B₁所成角的正弦值为

AB

AF

=

10

5

．