Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+23sin2x?3，将y=f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数

已知函数f（x）=2sinxcosx+23sin2x?3，将y=f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[a，b]上至少含有1012个零点，则b-a的最小值为______．

Answer 1

函数f（x）=2sinxcosx+2

3

sin2x?

3

=sin2x+-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]+1
=2sin2x+1的图象，由题意可得，g（x）在[a，b]上至少含有1012个零点．
令g（x）=0，得sin2x=-

1

2

，可得2x=2kπ+

7π

6

，或2x=2kπ+

11π

6

，k∈z．
求得x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

．
函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有1012个零点，则b不小于第1012个零点的横坐标即可，
故b的最小值为 505π+

11π

12

=

6071π

12

，故b-a的最小值为

6071π

12

-

7π

12

=

1516

3

π，
故答案为：

1516

3

π．