Question

已知数列{an}满足条件：a1＝1，an+1＝2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）若bn=（2n

已知数列{an}满足条件：a1＝1，an+1＝2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）若bn=（2n-1）（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：由题意得a_n+1+1=2（a_n+1），…（3分）
又a₁+1=2≠0．                                                 …（4分）
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．                 …（5分）
（Ⅱ）解：由（1）知an+1＝2?2n?1即an＝2n?1，…（7分）
故bn＝(2n?1)2n
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1?2+3?2²+5?2³+…+（2n-1）2ⁿ
2T_n=1?2²+3?2³+5?2⁴+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹…（8分）
错位相减得-T_n=2+2?2²+2?2³+2?2⁴+…+2?2ⁿ-（2n-1）2ⁿ⁺¹…（9分）
=2[

2(1?2n)

1?2

]?2?(2n?1)2n+1=（3-2n）2ⁿ⁺¹-6…（11分）
从而得T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6…（12分）