Question

（创新题）．我们使用的三角板中有30°，45°，60°和90°特殊角，我们规定：由一副三角板中的角加，减所

（创新题）．我们使用的三角板中有30°，45°，60°和90°特殊角，我们规定：由一副三角板中的角加，减所得的角称之为”半特殊角”．如135°=90°+45°等．如图是由两块斜边等长的三角板拚凑而成的，（1）写出图中所有的小于平角的”半特殊角”和它们的度数；（2）利用图求sin15°的值；（3）将图中含30°角的直角三角板沿AB翻折得△ABC1，再作△ABC关于AB中点O的中心对称△ABC2，连AC2，BC1，线段DC2，DC1分别交AB于F，G，画出图形，指出其中的两对相似三角形，并求出其中一对相似三角形的相似比．

Answer 1

（1）∵∠DAB=∠DBA=45°，∠CAB=30°，∠CAB=60°，∠D=∠C=90°，
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=45°-30°=15°，∠DBC=∠CAB-∠DBA=60°-45°=15°，
由∠AED为三角形ABE的外角，
∴∠AED=∠CEB=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°，
由∠DEC为三角形ADE的外角，∠AEB为三角形AED的外角，
∠DEC=∠AEB=∠DAC+∠D=90°+15°=105°，
综上，∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；

（2）过E作EF⊥AB于F点，
令AD=BD=a，EF=x，
则AB=

2

a，BF=EF=x，AF=

3

x
∴（

3

+1）x=

2

a，
解得：x=

( 6 ? 2 )a

2

，
那么AE=2x=（

6

-

2

）a，
DE=a-

2

x=（2-

3

）a，
∴sin15°=

DE

AE

=

(2? 3 )a

( 6 ? 2 ) a

=

6 ?  2

4

．

（3）由”直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”可知，
点A，D，B，C₁，C₂都在以AB为直径的圆上，
则∠ADC₂=∠ABC₂=∠BAC₁=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC₁A=45°，
∴△ADF∽△C₁AG．△ADC₂∽△FDA．
令AD=BD=a，则AB=

2

a，
在Rt△ABC₁中，AC₁=ABcos30°=

2

a?

3

2

=

6 a

2

由△ADF∽△C₁AG得相似比AD：C₁A=2：

6

．