Question

求这道高数题第五题怎么证明？

Answer 1

因为f(x)在(a,+无穷)上可导，所以f(x)在(a,+无穷)上连续。所以x趋于无穷limf(x)存在
构造函数g(x)=e^x*f(x)
《以下所有x趋于无穷》
讨论h(x)=[e^x*f(x)]/e^x=f(x)的极限
当f(x)趋于0时h(x)=f(x)趋于0 limf(x)/e^(-x)=lim-f'(x)/e^(-x) （洛必达法则）
所以limf(x)=0=lim-f'(x) limf'(x)=0 k=0
此时，limf(x)=k
当f(x)不趋于0时，分母e^x*f(x)趋于无穷，分子趋于无穷，洛必达法则，得：
limf(x)=lim[e^xf(x)+e^xf'(x)]/e^x=k