Question

求内接于半径为a的球，且有最大体积的长方体。(求详解，看懂就采纳)

Answer 1

过球心，将球切开，看截面。在截面以一条直径为长方形的对角线定点在圆上。面积公式为直径乘以高。可以发现，只有到正方形是，高最大。所以面积最大。扩展到三维球形。即边长为根号二半径的倍数。

该长方体的体积为：(8/9)(根号3)a^3。

具体的求解过程为：

设该长方体的体积为v，长、宽、高分别为x、y、z

则该长方体的体积为：V=xyz

因为是内接于半径为a的球，所以可以得到约束条件：x^2+y^2+z^2=4a^2

写出该约束条件下的拉格朗日函数：F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)

扩展资料：

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数，其中λ为参数。

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即

F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0 

F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日乘数法

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

过球心，将球切开，看截面。在截面以一条直径为长方形的对角线定点在圆上。面积公式为直径乘以高。可以发现，只有到正方形是，高最大。所以面积最大。扩展到三维球形。即边长为根号二半径的倍数。

Answer 4

追问

你真厉害，大学的数学题，你用高中方法就解决了。

Answer 5

那个长方体是正方体应该是，然后你把2a看成这个正方体的对角线长度即可