Question

如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4

如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4，AG=2．（1）求∠A的度数；（2）求⊙O的半径．

Answer 1

（1）连接OD，OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°， ∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°， ∴四边形ADOF是矩形， ∴∠A=90°； （2）设⊙O的半径为r， 由（1）知四边形ADOF是矩形，又OD=OF， ∴四边形ADOF是正方形． ∴OD ∥ AC． ∴△BOD ∽ △BGA． ∴ DO AG = BD BA ． 即 r 2 = 4-r 4 ， 解得r= 4 3 ． ∴⊙O的半径为 4 3 ．