Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。（1）求证

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长。

Answer 1

解：（1）如图，连接OD， ∵OA=OB，CD =BD， ∴OD∥AC， ∴∠ODE=∠CED， 又∵DE⊥AC， ∴∠CED =90°， ∴∠ODE =90°， 即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OD∥AC，∠BAC =60°， ∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠ODB， 又∵OB=OD， ∴△BOD是等边三角形， ∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5， ∵DE⊥AC， ∴DE=CD·sin∠C =5×sin60°= 。