Question

已知函数f（x）=ax 2 +2ln（x+1），其中a为实数．（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；（2）若f（x）在

已知函数f（x）=ax 2 +2ln（x+1），其中a为实数．（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得f（x）的定义域为（-1，+∞） 又 f^(x)=2ax+ 2 x+1 ∴由题意得f′（1）=2a+1=0 ∴ a=- 1 2 （2）解法一：依题意得f′（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴ 2ax+ 2 x+1 ＞0 ∴ 2ax＞- 2 1+x ，a＞ 1 - x 2 -x = 1 - (x+ 1 2 ) 2 + 1 4 ∵x∈[2，3]，∴ -(x+ 1 2 ) 2 + 1 4 的最小值为 -(3+ 1 2 ) 2 + 1 4 =-12 ∴ 1 - (x+ 1 2 ) 2 + 1 4 的最大值为 - 1 12 又因 a=- 1 12 时符合题意∴ a≥- 1 12 为所求 解法二：依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴ 2ax+ 2 x+1 ＞0 即 a x 2 +ax+1 x+1 ＞0 ∵1+x＞0， ∴ax 2 +ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立 令g（x）=ax 2 +ax+1 （1）当a=0时，1＞0恒成立 （2）当a＜0时，抛物线g（x）开口向下，可得g（x） min =g（3）＞0 即9a+3a+1≥0，∴ 0＞a＞- 1 12 （ （3）当a＞0时，抛物线g（x）开口向上，可得g（x） min =g（2）＞0 即4a+2a+1＞0， ∴ a＞- 1 6 ，即a＞0 又因 a=- 1 12 时符合题意 综上可得 a≥- 1 12 为所求