Question

已知数列{a n }满足：a 1 =3，且a n+1 =2a n -1（n∈N * ）．（1）求证数列{a n -1}是等比数列，并求出数

已知数列{a n }满足：a 1 =3，且a n+1 =2a n -1（n∈N * ）．（1）求证数列{a n -1}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式a n ．（2）令 b n = 1 a n+1 - a n (n∈ N * ) ，求数列{b n }的前n项和S n ．

Answer 1

（1）∵a n+1 =2a n -1，两边同时减去1，得 a n+1 -1=2（a n -1），又a 1 -1=2 ∴{a n -1}是以a 1 -1=2为首项，q=2为公比的等比数列， ∴a n -1=2 n ∴a n =2 n +1（n∈N *） （2）证明：∵a n =2 n +1（n∈N * ）， ∴ b n = 1 a n+1 - a n = 1 2 n+1 - 2 n = 1 2 n   (n∈ N * ) ∴ S n = b 1 + b 2 +…+ b n = 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3 +…+ 1 2 n = 1 2 (1- 1 2 n ) 1- 1 2 =1- 1 2 n