设总体X的概率分布为 X012P2θ（1-θ）2θ2 1-2θ 其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用总体X的如下样本
设总体X的概率分布为X012P2θ（1-θ）2θ21-2θ其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用总体X的如下样本值：0，1，2，0，2，1，0，2．求θ的矩估计值和最大似...
设总体X的概率分布为 X012P2θ（1-θ）2θ2 1-2θ 其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用总体X的如下样本值：0，1，2，0，2，1，0，2．求θ的矩估计值和最大似然估计值．
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（1）矩估计：
∵EX=0?2θ（1-θ）+1?2θ2+2?（1-2θ）=2（θ-1）2，
而
＝
(0+1+2+0+2+1+0+2)＝1．
令EX＝
，即2(θ?1)2＝
，
∴θ＝1±
＝1±
，
显然，由于0＜θ＜
，
∴取θ＝1?
为矩估计值．
（2）最大似然估计．先写出似然函数L（θ）．
L（θ）=[2θ（1-θ）]3（2θ2）2（1-2θ）3=32θ7（1-θ）3（1-2θ）3，
∴lnL（θ）=ln32+7lnθ+3ln（1-θ）+3ln（1-2θ），
∴
＝
?
?
＝
＝0，
解得最大似然估计值
θ＝
，由于θ＜
，取θ＝
∵EX=0?2θ（1-θ）+1?2θ2+2?（1-2θ）=2（θ-1）2，
而
. |
| X |
| 1 |
| 8 |
令EX＝
. |
| X |
. |
| X |
∴θ＝1±
|
|
显然，由于0＜θ＜
| 1 |
| 2 |
∴取θ＝1?
| ||
| 2 |
（2）最大似然估计．先写出似然函数L（θ）．
L（θ）=[2θ（1-θ）]3（2θ2）2（1-2θ）3=32θ7（1-θ）3（1-2θ）3，
∴lnL（θ）=ln32+7lnθ+3ln（1-θ）+3ln（1-2θ），
∴
| dlnL(θ) |
| dθ |
| 7 |
| θ |
| 3 |
| 1?θ |
| 6 |
| 1?2θ |
| 26θ2?30θ+7 |
| θ(1?θ)(1?2θ) |
解得最大似然估计值
θ＝
15±
| ||
| 26 |
| 1 |
| 2 |
