Question

探究、猜想、证明题：观察下列数据：1×2×3×4+1=25=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=121=112=（22+3×2+

探究、猜想、证明题：观察下列数据：1×2×3×4+1=25=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=121=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=361=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=841=292=（42+3×4+1）2…猜想：（1）5×6×7×8+1=1681=412=（______2+______+______） 2 n（n+1）（n+2）（n+3）+1=______ 证明：（2）四个连续自然数的乘积加上1是一个完全平方数．

Answer 1

1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，
得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），
∴5×6×7×8+1=41²=（5²+3×5+1）²．
（2）根据（1）得出的结论得出：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
故答案为：5、15、1、（n²+3n+1）²．