在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．（Ⅰ）如图①
在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为...
在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD．①如图②，当点P运动到点（3，0）时，求此时点D的坐标；②求在点P运动过程中，使△OPD的面积等于34的点P的坐标（直接写出结果即可）．
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解：（Ⅰ）如图①，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，∵△AOB是等边三角形，OA=4，
∴BF=OE=2．
在Rt△OBF中，
由勾股定理，得OF＝
| OB2?BF2 |
| 3 |
∴点B的坐标为（2
| 3 |
（Ⅱ）①如图②，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，
延长EB交DH于点G．
则BG⊥DH．
∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴∠ABD=∠AOP=90°，BD＝OP＝
| 3 |
∵△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∵BE⊥OA，
∴∠ABE=30°，∴∠DBG=60°，∠BDG=30°．
在Rt△DBG中，BG＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∵sin60°=
| DG |
| DB |
| 3 |
|
