Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对?x∈R，f(34?x)＝f(34+

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对?x∈R，f(34?x)＝f(34+x)成立；③当x∈(?32，?34]时，f（x）=log2（-3x+1），则f（2011）=______．

Answer 1

由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，
即f（x）=-f（-x）对任何x都成立，
由②得出f(?x)＝f(

3

2

+x)
∴f(

3

2

+x)＝?f(x)
∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2011）=f（1）=-f（-1）=-log₂4=-2，
故答案为：-2