Question

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．（1）求证：AB=AC；（2）求

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．（1）求证：AB=AC；（2）求证：PD是⊙O的切线；（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：连结AP，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∵P为BC中点，
∴AP为BC的垂直平分线，
∴AB=AC；
（2）解：连结OP，如图，
∵点O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：∵AB=AB，
∴∠B=∠C，
∵∠CAB=120°，
∴∠B=30°，
在Rt△ABP中，PB=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴cos30°=

PB

AB

，
∴AB=

2

3 2

=

4 3

3

．
即⊙O的直径为

4 3

3

．