已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时
已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m的取值...
已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．
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（Ⅰ）f′（x）=2ax+
=
（x＞0），…（2分）
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
②当a＜0时，当0＜x＜
时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，
）上是增函数；
当x＞
时，f′（x）＜0，则f（x）在（
，+∞）上是减函数 …（6分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，
）上是增函数，f（x）在（
，+∞）上是减函数．…（7分）
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，
恒有ma-f（x）＞a2成立，等价于ma-a2＞f（x）max，
因为a∈（-4，-2），所以
| 1 |
| x |
| 2ax2+1 |
| x |
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
②当a＜0时，当0＜x＜
?
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?
|
当x＞
?
|
?
|
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，
?
|
?
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（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，
恒有ma-f（x）＞a2成立，等价于ma-a2＞f（x）max，
因为a∈（-4，-2），所以
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