已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时
已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值...
已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.
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(Ⅰ)f′(x)=2ax+
=
(x>0),…(2分)
①当a≥0时,恒有f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;…(4分)
②当a<0时,当0<x<
时,f′(x)>0,则f(x)在(0,
)上是增函数;
当x>
时,f′(x)<0,则f(x)在(
,+∞)上是减函数 …(6分)
综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在(0,
)上是增函数,f(x)在(
,+∞)上是减函数.…(7分)
(Ⅱ)由题意知对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,
恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,
因为a∈(-4,-2),所以
1 |
x |
2ax2+1 |
x |
①当a≥0时,恒有f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;…(4分)
②当a<0时,当0<x<
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当x>
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综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在(0,
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(Ⅱ)由题意知对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,
恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,
因为a∈(-4,-2),所以
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