Question

已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方

已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问OM?0N是否为定值，说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线y²=12x，得焦点为（3，0），
已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，
又a-c=1，则c=2，
∴b²=a²-c²=5，
故椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

5

＝1；
（2）设P（x₀，y₀），则5x02+9y02＝45，且A（-3，0），B（3，0），
又直线PA：y＝

y0

x0+3

(x+3)，直线PB：y＝

y0

x0?3

(x?3)，
令x=0，得：

OM

＝(0，

3y0

x0+3

)，

ON

＝(0，

?3y0

x0?3

)，
故

OM

?

ON

＝

?9y02

x02?9

＝

5x02?45

x02?9

＝5为定值．