Question

高数 求函数f(x)=∫0~1|x^2-t^2|dt在(0,+∞)上的极值

Answer 1

当0<x<1时，f(x)=(x^2-t^2)dt(0到x上的积分)+(t^2-x^2)dt(x到1上的积分)=4x^3/3-x^2+1/3
当x>=1时，f(x)=(x^2-t^2)dt(0到x上的积分)=2x^3/3
f'(x)=4x^2-2x=2x(2x-1) 0<x<1
f'(x)=2x^2 x>1
所以f(x)在（0，1/2）上单调递减，在（1/2，+∞）上单调递增
从而f(x)在x=1/2取极小值且为1/4

追问

f(x)怎么算出来的？

追答

你要记住，当对t积分时，x就应看作是常数
比如 (x^2-t^2)dt(0到x上的积分)=x^2*t-t^3/3(下线为0，上限为x)=x^2*x-x^3/3-(x^2*0-0^3/3)=2x^3/3
如果还有不明白的地方请继续追问

追问

那x>1的时候不是f(x)=x^2-1/3吗？

追答

当x>=1时，f(x)=(x^2-t^2)dt(0到1上的积分)=x^2-1/3，你说的是对的。是我大意了。

追问

好的，谢谢解答:)

Answer 2

引用lusai19890821的回答：
当0<x<1时，f(x)=(x^2-t^2)dt(0到x上的积分)+(t^2-x^2)dt(x到1上的积分)=4x^3/3-x^2+1/3
当x>=1时，f(x)=(x^2-t^2)dt(0到x上的积分)=2x^3/3
f'(x)=4x^2-2x=2x(2x-1) 0<x<1
f'(x)=2x^2 x>1
所以f(x)在（0，1/2）上单调递减，在（1/2，+∞）上单调递增
从而f(x)在x=1/2取极小值且为1/4

x大于0为什么还要分小于0的那部分讨论

Answer 3

题不太清楚

追问

追答

有绝对值不会算。。。

追问

= =