Question

点A、B分别是椭圆 x 2 36 + y 2 20 =1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右

点A、B分别是椭圆 x 2 36 + y 2 20 =1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

（1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），设点P（x，y），则 AP =（x+6，y）， FP =（x-4，y）． 由已知可得 x 2 36 + y 2 20 =1 (x+6)(x-4)+ y 2 =0 ，2x 2 +9x-18=0，解得x= 3 2 ，或x=-6． 由于y＞0，只能x= 3 2 ，于是y= 5 3 2 ．∴点P的坐标是（ 3 2 ， 5 3 2 ）． （2）直线AP的方程是 y-0 5 3 2 -0 = x+6 3 2 +6 ，即x- 3 y+6=0． 设点M（m，0），则M到直线AP的距离是 |m+6| 2 ． 于是 |m+6| 2 =|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）． 设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d 2 =（x-2） 2 +y 2 =x 2 -4x+4+20- 5 9 x 2 = 4 9 （x- 9 2 ） 2 +15， ∴当x= 9 2 时，d取得最小值 15 ．