Question

【阅读】如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．过原点O作直线

【阅读】如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．过原点O作直线l，使它经过第一、三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[______，______]；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形0ABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形0ABC的外部，直接写出a的取值范围；【探究】经过FZ[θ，a]操作后，作直线CD交x轴于点G，交直线AB于点H，使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形，直接写出FZ[θ，a]．

Answer 1

【理解】
若点D与点A重合，由折叠性质可知，OA=OC=3，θ=

1

2

∠AOC=45°，
∴FZ[45°，3]．

【尝试】
（1）如答图1所示，连接CD并延长，交x轴于点F．

在△BCD与△AFD中，

∠BDC＝∠ADF BD＝AD ∠CBD＝∠FAD

∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，
∴OD=

1

2

CF=CD．
又由折叠可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，
∴θ=

1

2

∠COD=30°；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，则点D落在x轴上，AB⊥直线l，
如答图2所示：

若点E在四边形0ABC的边AB上，
由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵AB⊥直线l，θ=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；
由答图2可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．

【探究】
FZ[30°，2+

3

]，FZ[60°，2+3

3

]．
如答图3、答图4所示．