Question

（2014?西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴

（2014?西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM．（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），①直线l1：y=2，直线l2：y=x+2，直线l3：y＝3x+2，直线l4：y=-2x+2都经过点P，在直线l1，l2，l3，l4中，是⊙O的“x关联直线”的是______；②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是______；（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，①若P（-1，2），⊙A的“x关联直线”lPBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp＞2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM，lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？并说明理由．

Answer 1

（1）①l₃，l₄；
分析如下：

根据题意，如图1，l₁，l₂与⊙O没有交点，
对l₃，过点O作OB⊥AC于B，
∵A（0，2），C（?

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3

，0），
∴AO=2，C0=

2 3

3

，
∴根据勾股定理，AC=

4 3

3

．
∴根据面积相等，OB=

AO?OC

AC

=1，
∵⊙O半径为1，
∴AC切⊙O于B，
∴l₃是⊙O的“x关联直线”．
对l₄，显然与⊙O有两个交点，故l₄是⊙O的“x关联直线”．
综上所述，l₃，l₄是⊙O的“x关联直线”．

②xM＝

2 3

3

；
分析如下：

如图2，PM与⊙O相切于B点时，M的横坐标x_M最大，连接OB，则OB⊥PM，
在Rt△OPB中，
∵PO=2，OB=1，
∴∠OPB=30°，
∴OM=tan∠OPB?OP=

3

3

?2=

2 3

3

，
所以点M的横坐标x_M最