Question

已知函数f（x）=sin（ωx+π6）+sin（ωx-π6）-2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（1）求函数f（x）的值域；

已知函数f（x）=sin（ωx+π6）+sin（ωx-π6）-2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y=f（x）的对称轴．

Answer 1

（1）f（x）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+sinωxcos

π

6

?cosωxsin

π

6

-1+cosωx
=

3

sinωx?cosωx?1=2sin(ωx?

π

6

)?1；
∴-3≤f（x）≤1
∴函数f（x）的值域是[-3，1]．
（2）∵函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

；
∴令2sin(ωx?

π

6

)?1＝?1得sin(ωx?

π

6

)＝0；
∴取两个相邻的解为：ωx?

π

6

＝0，或ωx?

π

6

＝π，解得：x=

π

6ω

，或x＝

7π

6ω

；
∴

7π

6ω

?

π

6ω

＝

π

2

，∴ω=2；
∴函数f（x）的周期为π．
∴令2x?

π

6

＝

π

2

+kπ得：x＝

π

3

+

kπ

2

；
∴函数y=f（x）的对称轴是：x＝

π

3

+

kπ

2

．