Question

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y＝p2于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．

Answer 1

（1）设A(x1，

x12

2p

)，则A处的切线方程为l1：y＝

x1

p

x?

x12

2p

，
可得：D(

x1

2

，0)，Q(0，?

x 2 1

2p

)
∴|FQ|＝

p

2

+

x 2 1

2p

＝|AF|；
∴△AFQ为等腰三角形．
由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，
∴|AF|=4，得：

p 2 + x 2 1 2p ＝4 x 2 1 +p2＝16

∴p=2，C：x²=4y．
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为y＝

x2

2

x?

x22

4

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