Question

已知数列{an}满足a1=1，an＞0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2an2+an-1（1）计算a2，a3的

已知数列{an}满足a1=1，an＞0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2an2+an-1（1）计算a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式（2）求满足Sm≤27的m的最大值（3）记bn=anan-1+2（n∈N*），求证：1b1+1b2+1b3+…+1bn＜4．

Answer 1

（1）由2S_n=2a_n²+a_n-1，令n=2，
则2(a1+a2)＝2

a

2 2

+a2?1，化为2

a

2 2

?a2?3＝0，又a₂＞0，解得a2＝

3

2

．
令n=3，则2（a₁+a₂+a₃）=2

a

2 3

+a3?1，化为2

a

2 3

?a3?6＝0，解得a₃=2．
当n≥2时，由2S_n=2a_n²+a_n-1，2Sn?1＝2

a

2 n?1

+an?1?1，
两式相减得2an＝2

a

2 n

+an?2

a

2 n?1

?an?1，化为(an+an?1)(an?an?1?

1

2

)＝0．
∵a_n＞0，∴an?an?1＝

1

2

．
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，

1

2

为公差的等差数列．
∴an＝1+(n?1)×

1

2

=

n+1

2

．
（2）由（1）可得：Sm＝

m(1+ m+1 2 )

2

=

m(m+3)

4

，由

m(m+3)

4

≤27，化为m²+3m-108≤0，m∈N^*，解得0＜m≤9，
因此满足S_m≤27的m的最大值是9．
（3）证明：b_n=a_na_n-1+2=

(n+1)

2

?

n

2

+2=

n2+n+8

4

．
∴

1

bn

＝

4

n2+n+8

＜

4

n(n+1)

＝4(

1

n

?

1

n+1

)．
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜4[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]=4(1?

1

n+1

)＜4．
故不等式成立．