Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的函数，对任意实数x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的函数，对任意实数x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0；f（3）=-1．（1）求f（9）；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）在我们所学的函数中写出一个符合条件的函数，在此条件下解不等式：f（x-2）＞1-f（14?x）．

Answer 1

（1）∵f（3）=-1．
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）=-2；
（2）递减函数；取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

?x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

?）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=0，且函数在（0，+∞）上的单调递减，
则满足此条件的函数为单调递减的对称函数，
不妨设f（x）=log

1

3

x，
则不等式f（x-2）＞1-f（

1

4?x

）等价为f（x-2）+f（

1

4?x

）＞1．
即f[（x-2）（

1

4?x

）]＞1，
即f[（x-2）（

1

4?x

）]＞f（

1

3

），
则等价为

x?2＞0 1 4?x ＞0 (x?2)? 1 4?x ＜ 1 3

，
即

x＞2 x＜4 3(x?2)＜4?x

，解得2＜x＜

5

2

．
即此时不等式的解集为（2，

5

2

）