Question

已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂

已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中

∠ADC＝∠CEB ∠CAD＝∠BCE AC＝BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中

∠ADC＝∠CEB ∠CAD＝∠BCE AC＝BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴DC=BE，AD=CE．
又∵ED=CD-CE，
∴ED=BE-AD．

（3）ED=AD+BE．
证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中

∠ADC＝∠CEB ∠CAD＝∠BCE AC＝BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴DC=BE，AD=CE．
又∵ED=CE+DC，
∴ED=AD+BE．