Question

设命题p：实数x满足x 2 -4ax+3a 2 ＜0（a＞0）命题q：实数x满足 x 2 -x-6＜0

设命题p：实数x满足x 2 -4ax+3a 2 ＜0（a＞0）命题q：实数x满足 x 2 -x-6＜0 x 2 +2x-8＞0 （1）若a=1，且p∩q为真，求实数x的取值范围（2）若?p是?q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

x 2 -4ax+3a 2 =0对应的根为a，3a； 由于a＞0，则x 2 -4ax+3a 2 ＜0的解集为（a，3a），故命题p成立有x∈（a，3a）； 由x 2 -x-6＜0得x∈（-2，3）， 由x 2 +2x-8＞0得x∈（-∞，-4）∪（2，+∞）， 故命题q成立有x∈（2，3）． （1）a=1时，命题p成立有x∈（1，3）， ∵p∩q为真，∴实数x的取值范围是x∈（2，3）； （2）∵?p是?q的充分不必要条件， ∴p是q的必要不充分条件， ∴有（2，3）?（a，3a）， ∵a＞0 ∴ a≤2 3≤3a ∴1≤a≤2．