Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P，直线BC相交于点M，连接PB。
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若抛物线上存在点Q，使△QMB与三角形PMB的面积相等，求出点Q的坐标；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM于△RMB的面积相等，若存在，求出R的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

答：
1）
设抛物线为y=a(x+1)(x-3)
点C(0，3)代入解得：a=-1
抛物线为：y=-(x+1)(x-3)
抛物线为：y=-x²+2x+3
2）
抛物线顶点P(1,4)，直线BC为：y=-x+3
即直线BC为：x+y-3=0
对称轴x=1，则点M为(1,2)
因为：△PMB和△QMB同底边BM
所以：点P和点Q到BM的距离相等时面积相等
设点Q为(q,-q²+2q+3)，则有：
d=|q-q²+2q+3-3|/√2=|1+4-3|/√2
所以：q²-3q=2或者q²-3q=-2
解得：q=(3±√17)/2或者q=2或者q=1
点Q为3个符合题意：（楼主自己代入抛物线吧）
((3+√17)/2,y1)、((3-√17)/2,y2）、(2，3)
3）
PM=2，BM=√2
设点R为(r，-r²+2r+3)，1<r<3
2S=2×(r-1)=√2×d
d=√2(r-1)=|r-r²+2r+3-3|/√2
2(r-1)=|r²-3r|=3r-r²=2r-2
r²-r-2=0
解得：r=2或者r=-1
因为：1<r<3
所以：r=2
点R为(2,3)

Answer 2

（1）将三个点坐标加入抛物线关系式，得：y=-x²+2x+3

（2）易知P点坐标为（1,4），直线BC解析式为y=-x+3，M点坐标为（1,2），P到直线BC距离为2/√2=√2，则应在抛物线上找另一点Q（x1，y1）令其至直线BC距离为√2，有y1=-x1²+2x1+3，且|x1+y1-3|/√2=√2，得：Q为（2,3）或（3+√17/2，-1-√17/2）或（3-√17/2，√17-1/2）
（3）设R为（x2,y2），则有x2>1，PM=2，BM=2√2，R到直线PM距离易知为x2-1，到BM距离为|x2+y2-3|/√2，有2*（x2-1）=2√2*|x2+y2-3|/√2，且y2=-x2²+2x2+3，得：R坐标为（1+√2，2）或（2+√3，-2√3）