Question

D．（选修4-5：不等式选讲）设a1，a2，…an 都是正数，且 a1?a2…an=1，求证：（1+a1）（1+a2）…（1+an

D．（选修4-5：不等式选讲）设a1，a2，…an 都是正数，且 a1?a2…an=1，求证：（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2n．

Answer 1

∵a₁＞0，∴根据基本不等式，得1+a₁≥2

a1

同理可得，1+a₂≥2

a2

，1+a₃≥2

a3

，…，1+a_n≥2

an

注意到所有的不等式的两边都是正数，将这n个不等式的左右两边对应相乘，得
（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ?

a1a2a3…an

∵a₁?a₂…a_n=1，
∴（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ?1=2ⁿ，即原不等式成立．