Question

已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列

已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（　　）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

Answer 1

∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
又BD=BC，BA=BE，
∴∠BCD=

180°?∠CBE

2

，∠BEA=

180°?∠ABE

2

，即∠BCD=∠BEA，
又∠BDC=∠ADE，
∴△ADE∽△BCD，
∴

AD

BD

=

DE

CD

，∠DAE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DAE，
又∠ADB=∠EDC，
∴△ADB∽△EDC，
∴∠ACE=∠ABE，故选项①正确；
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；
∴∠DAE=∠ACE，
∴AE=EC，故选项③正确；
过E作BC延长线的垂线，垂足为M，如图所示：

∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，
∴∠BAE=∠ECM，
又BE为∠ABC平分线，EF⊥AB，EM⊥BM，
∴EF=EM，
在△AEF和△CEM中，

∠BAE＝∠ECM ∠AFE＝∠CME＝90° EF＝EM

，
∴△AEF≌△CEM（AAS），
∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，
则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，
故选项④正确，
则其中正确的是①②③④．
故选D