Question

已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x

已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{cn}．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{cn}的前50项和S50；（Ⅲ）把集合?UA中的元素从小到大依次排列构成数列{dn}，写出数列{dn}的通项公式，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，则q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）根据数列{a_n}和数列{b_n}的增长速度，数列{c_n}的前50项至多在数列{a_n}中选50项，数列{a_n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，数列{b_n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a_n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a₄₆=136＞128，故数列{c_n}的前50项应包含数列{a_n}的前46项和数列{b_n}中的2，8，32，128这4项．
所以S₅₀=

46(a1+a46)

2

+2+8+32+128=3321；              
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128?A，猜测数列{d_n}的通项公式为d_n=2^2n-1．
∵d_n=b_2n，∴只需证明数列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n?A（n∈N^*），
证明如下：∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若?m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以，若b_2n-1∈A，则b_2n+1∈A．因为b₁∈A，重复使用上述结论，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因为“3×2×4^n-1”为数列{a_n}的公差3的整数倍，
所以说明b_2n 与b_2n+2（n∈N^*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b₂=2?A，即有b₄=2?A，重复使用上述结论，即得b_2n?A，
∴d_n=2^2n-1；