Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：1x2＜k＜1x1．

Answer 1

（1）依题意得g（x）=lnx+ax²+bx，则g′(x)＝

1

x

+2ax+b，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1．
（2）由（1）得g′(x)＝

2ax2?(2a+1)x+1

x

=

(2ax?1)(x?1)

x

．
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，g′(x)＝?

x?1

x

，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或x＝

1

2a

，
若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，由g'（x）＞0得x＞1或0＜x＜

1

2a

，由g'（x）＜0得

1

2a

＜x＜1，
即函数g（x）在(0，

1

2a

)，（1，+∞）上单调递增，在(

1

2a

，1)单调递减；
若

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

时，由g'（x）＞0得x＞

1

2a

或0＜x＜1，由g'（x）＜0得1＜x＜

1

2a

，
即函数g（x）在（0，1），(

1

2a

，+∞)上单调递增，在(1，

1

2a

)单调递减；
若

1

2a

＝1，即a＝

1

2

时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在(1，

1

2a

)单调递减；在(

1

2a

，+∞)上单调递增；
当a＝

1

2

时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞

1

2

时，函数g（x）在(0，

1

2a

)上单调递增，在(

1

2a

，1)单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
（3）证法一：依题意得k＝

y2?y1

x2?x1

＝

lnx2?lnx1

x2?x1

，
证

1

x2

＜k＜

1

x1

，即证

1

x2

＜

lnx2?lnx1

x2?x1

＜

1

x1

，因x₂-x₁＞0，即证

x2?x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2?x1

x1

，
令

x2

x1

＝t（t＞1），即证1?

1

t

＜lnt＜t?1（t＞1），
令h(t)＝lnt+

1

t

?1（t＞1），则h′(t)＝

1

t

?

1

t2

＝

t?1

t2

＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1?

1

t

（t＞1）②
综合①②得1?

1

t

＜lnt＜t?1（t＞1），即

1

x2

＜k＜

1

x1

．
证法二：依题意得k＝

y2?y1

x2?x1

＝

lnx2?lnx1

x2?x1

?lnx2?kx2＝lnx1?kx1，
令h（x）=lnx-kx，则h′(x)＝

1

x

?k，
由h'（x）=0得x＝

1

k

，当x＞

1

k

时，h'（x）＜0，当0＜x＜

1

k

时，h'（x）＞0，
∴h（x）在(0，

1

k

)单调递增，在(

1

k

，+∞)单调递减，又h（x₁）=h（x₂），
∴x1＜

1

k

＜x2，即

1

x2

＜k＜

1

x1

．
证法三：令